Pár rad ohledně matematiky

Červen 2010

Vzorečky pro objem, obsah a obvod

17. června 2010 v 19:22 | Jan Hlaváč a Jiří Kučera |  Geometrie
Vzorečky pro výpočty objemu, obsahu a obvodu
Čtverec
S = a.a
o = 4.a
Obdélník
S = a.b
o = 2.(a+b)
Trojúhelník
S = 1/2 a.va = 1/2b.vb = 1/2 c.vc
o = a+b+c
Rovnoběžník
S = a.va
Kosočtverec
S = 1/2 u1 . u2
Mnohoúhelník
S = součet délek všech jeho stran
Lichoběžník
S = 1/2 (a+c) . v
Krychle
S = 6.a.a
V = a.a.a = a3
Kvádr
S = 2.a.b+2.b.c+2.a.c = 2.(a.b+b.c+a.c)
V = a.b.c
Hranol
S = Spl + 2.Sp
Spl = o.v
V = Sp.v
Sp = a.va

Rovnoběžníky

17. června 2010 v 19:05 | Jan Hlaváč |  Geometrie
Rovnoběžník je čtyřúhelník který má dvě své protější strany rovnoběžné.
Pravidla podle kterých ho poznáme:
1) Protější strany rovnoběžné a shodné
2) Protější vnitřní úhly jsou shodné
3) Průsečík úhlopříček je jejich společným středem
4) Průsečík úhlopříček rovnoběžníka je jeho středem souměrnosti, je souměrný podle průsečíku svých úhlopříček

Součet velikostí sousedních úhlů rovnoběžníka je 180°
Čtverce a obdélníky jsou pravoúhlé
Rovnoběžníky které nejsou pravoúhlé se nazývají kosoúhelníky
Kosoúhelník, jehož sousední strany jsou shodné je kosočtverec
Kosoúhelník, jehož sousední strany nejsou shodné je kosodelník
rovn

Čtyřúhelníky

17. června 2010 v 18:51 | Jan Hlaváč |  Geometrie
Čtyřúhelník je mnohoúhelník, který má čtyři strany
Čtyřúhelník, který má jeden vnitřní úhel nekonvexní se nazývá nekonvexní čtyřúhelník.
Součet vnitřních úhlů čtyřúhelníka je 360°.
Čtyřúhelník který je souměrný podle jediné přímky, ve které leží jeho úhlopříčka se nazýví deltoid
Příklady: čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník, deltoid.
ctyruhel

Procenta

17. června 2010 v 18:41 | Jan Hlaváč a Jiří Kučera |  Procenta
Procento je dá se říct zlomek, třeba  45% se dá vyjádřit jako 45/100
50% jako 50/100 atd.

Výpočet procentové části:
Procentovou část zjistíme tak že základ (100%) vydělíme 100
1% z ...   200  200:100=2   1% z 200 je 2
               945  945:100=9,45  1% z 945 je 9,45 atd.

Výpočet základu:
Základ se vypočítá tak že číslo vydělíme počtem procent a vynásobíme 100
10% je 5
1% je 0,5 protože 5:10=0,5
100% je 50 protože 0,5x100=50

25% je 500
1% je 20
100% je 2 000

4% je 2 800
1% je 700
100% je 70 000

Výpočet počtu procent:
Vydělíme první číslo s druhým
6 z 8   6:8=0,75  0,75x100=75%
25 z 100  25:100=0,25  0,25x100=25%
35 z 40  35:40=0,875  0,875x100=87,5%

Přímá a nepřímá úměrnost

17. června 2010 v 18:27 | Jan Hlaváč a Jiří Kučera |  Ostatní
Přímá úměrnost
Kolikrát se zvětší/zmenší X tolikrát se zvětší/zmenší Y
Např. Pracuji 2 hodiny a za to dostanu 145 Kč
          Když budu pracovat 4 hodiny, dostanu 2x tolik, tedy 290 Kč
          6 hod - 435 Kč
          ....
          20 hod - 1450 Kč
Graf přímé úměrnosti tvoří body které leží na přímce
primaumer

X = počet hodin
Y = počet peněz












Nepřímá úměrnost
Kolikrát se zvětší/zmenší X tolikrát se zmenší/zvětší Y
Např. Jeden člověk udělá práci za 12 hodin
          Dva lidé za 6 hodin
          3 lidé - 4 hod
          4 lidé - 3 hod
          ....
          12 lidí - 1 hod
Graf nepřímé úměrnosti tvoří body na křívce zvané hyperbola.
nerpima

Poměr, zmenšování, zvětšování

17. června 2010 v 17:59 | Jan Hlaváč |  Poměr
Poměr určuje zmenšení či zvětšení v nějakém měřítku
Počítáme ho tak jako zlomky, poměr je dělení (2:3=2/3)
Např.:
Číslo 20 zmenšit v poměru 1:2 - 1:2=0,5   0,5x20=10
Číslo 20 zvětšit v poměru 2:1 - 2:1=2   2x20=40
Nebo jiné př.:  20 zvětšit  9:4 - 9:4=2,25   2,25x20=45
                        45 zmenšit  3:7 - 3:9=0,33  0,33x45=14,85

Př.: Karel, Tomáš a Pepa natírali zeď domu, dostali za to 1200,- Kč
       Natírali to v poměru 2:3:5
       Kolik dostal Karel, Tomáš a Pepa?

       2+3+5=10   1200:10=120
       120x2=240
       120x3=360
       120x5=600
        Karel dostal 240, Tomáš 360 a Pepa 600 Kč.

Středová souměrnost

17. června 2010 v 17:36 | Jan Hlaváč |  Středová souměrnost
Středová souměrnost
Středová souměrnost je přenesení vzoru (např. bod A) přes daný střed - bod S a tím vznikne bod s čárkou (A')
Vzdálenost obrazu od středu musí být stejná jako vzdálenost od středu ke vzoru.
Vzory a obrazy vznikají na přímce se středem S.
Samodružný bod je bod na kterém se zobrazí vzor i obraz (leží na něm i střed S)
Středová souměrnost je shodné zobrazení (shodnost)
Osová souměrnost je nepřímá shodnost, protože máme obraz převrácený přes osu (jako zrcadlo)
Středová souměrnost je přímá shodnost
Ve středové souměrnosti platí:
1) obrazem přímky, která neprochází středem souměrnosti, je přímka, rovnoběžná se svým vzorem
2) obrazem přímky, která prochází středem souměrnosti je přímka splývající se svým vzorem
3) obrazem dvou rovnoběžných přímek jsou opět 2 rovnoběžky

Obr. Osová souměrnost:
osova










Středová souměrnost:
stredova

Věty o shodnosti trojúhelníka

17. června 2010 v 17:24 | Jan Hlaváč |  Geometrie
Věta SSS (strana-strana-strana)
O shodnosti trojúhelníka. Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve všech třech odpovídajících si stranách, poté jsou shodné
Věta SUS (strana-úhel-strana)
Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, poté jsou shodné.
Věta USU (úhel-strana-úhel)
Jestliže se dva trojúhelníky shodují v jedné straně a dvou úhlech k této straně přilehlé, poté jsou shodné.

Složené zlomky

17. června 2010 v 16:12 | Jan Hlaváč |  Zlomky
Složené zlomky:
Jsou to 2 zlomky které jsou rozděleny hlavní zlomkovou čárou.
Násobíme horního čitatele se spodním jmenovatelem a horního jmenovatele se spodním čitatelem.
Obr. Podrobný výpočet:
smisenyzlomek

Sčítání, odčítání, násobení a dělení zlomků

17. června 2010 v 16:04 | Jan Hlaváč |  Zlomky
Sčítání a odčítání zlomků:
Pravidla: 1) Najít společneho jmenovatele
               2) Společným jmenovatelem vydělíme jmenovatele v prvním zlomku
               3) Výsledek dělení vynásobíme s čitatelem prvního zlomku
                   co vyjde napíšeme do společného čitatele
               4) Opíšeme znaménko do společ. čitatele
               5) Opakujeme bod 2, 3  u druhého zlomku
               6) Vypočítáme společného čitatele
Př.: Sčítání
scitani zlomky






Dodatek: V tomto příkladu vyšel zlomek 4/4 a to můžeme převést na celky = 1









Násobení zlomků:
Pár pravidel: 1) zkontrolovat zda-li je zlomek v základním tvaru, pokud tomu tak není, zkrátíme ho
                     2) vyzkoušíme zda-li jde tzv. křížové pravidlo. (krácení křížem)
                         Čitatele v prvním zlomku a jmenovatele v druhém zlomku vydělíme společným dělitelem a taktéž čitatele v druhém zlomku a jmenovatele v prvním zlomku vydělíme společným dělitelem.
3) Pokud křížové pravidlo nelze, vynásobíme čitatele s čitatelem a jmenovatele s jmenovatelem.
A pokud křížové pravidlo šlo, vynásobíme také čitatele s čitatelem a jmenovatele s jmenovatelem.
4) Pokud zlomek není v základním tvaru tak ho ještě zkrátíme.
Př.:
nasobeni








Dělení zlomků:
Dělení zlomků je skoro stejné jako násobení, ale přeci jen je tam jedna jiná operace.
Využíváme pravidel z násobení, ale ještě než "násobíme" musíme přehodit druhý zlomek
Jak je viditelné na obrázku:

a)  Druhý zlomek z dělení tj. 1/2  přehodíme čitatele s jmenovatelem a tím vznikne 2/1, až poté začneme normálně násobit:
deleni